Статья 'Дельта-оператор при проектировании цифровых систем на малоразрядных вычислителях' - журнал 'Кибернетика и программирование' - NotaBene.ru
по
Journal Menu
> Issues > Rubrics > About journal > Authors > About the Journal > Requirements for publication > Council of Editors > Peer-review process > Policy of publication. Aims & Scope. > Article retraction > Ethics > Online First Pre-Publication > Copyright & Licensing Policy > Digital archiving policy > Open Access Policy > Open access publishing costs > Article Identification Policy > Plagiarism check policy
Journals in science databases
About the Journal

MAIN PAGE > Back to contents
Cybernetics and programming
Reference:

Delta-operator in the design of digital systems on low-bit computers

Karimov Timur Iskandarovich

Assistant, Department of CAD, Ulyanov (Lenin) St. Petersburg State Electrotechnical University "LETI" 

197022, Russia, g. Saint Petersburg, ul. Professora Popova, 5, aud. 1152

carimus@gmail.com
Karimov Artur Iskandarovich

Assistant, Department of CAD, Ulyanov (Lenin) St. Petersburg State Electrotechnical University "LETI"

197022, Russia, g. Saint Petersburg, ul. Professora Popova, 5, aud. 1152

art.krmv@gmail.com
Butusov Denis Nikolaevich

PhD in Technical Science

Associate Professor, Department of CAD, Ulyanov (Lenin) St. Petersburg State Electrotechnical University "LETI"

197022, Russia, g. Saint Petersburg, ul. Professora Popova, 5, aud. 1152

butusovdn@mail.ru
Sol'nitsev Remir Iosifovich

Doctor of Technical Science

Professor, Department of CAD, Ulyanov (Lenin) St. Petersburg State Electrotechnical University "LETI"

197022, Russia, g. Saint Petersburg, ul. Professora Popova, 5, aud. 1152

remira70@mail.ru
Bulakhov Artem Viktorovich

Postgraduate Student, Department of Computer-Aided Design Systems,  Ulyanov (Lenin) St. Petersburg State Electrotechnical University "LETI" 

197022, Russia, g. Saint Petersburg, ul. Professora Popova, 5, aud. 1151

bulahov.a@visteh.ru
Sigaeva Mariya Sergeevna

Assistant, InYaZ Department, Ulyanov (Lenin) St. Petersburg State Electrotechnical University "LETI"

197022, Russia, g. Saint Petersburg, ul. Professora Popova, 5, aud. 1152

msigaeva@gmail.com

DOI:

10.25136/2644-5522.2019.3.21655

Review date:

09-01-2017


Publish date:

19-11-2019


Abstract: The use of low-bit computers is a well-known way to reduce the cost and energy consumption of embedded control and signal processing systems. At the same time, the construction of adequate digital models of dynamic systems on low-discharge computers is hindered by a number of problems associated with the influence of the rounding error of the coefficients. To increase the accuracy of the representation of discrete systems, instead of the traditional z operator, alternative discrete operators can be used, in particular, the δ operator. This mathematical apparatus, in addition, makes it possible to synthesize discrete systems that cannot be realized with a short grid length by standard methods. This article discusses the methodology for using the δ operator in the construction of digital systems on low-bit hardware platforms. The theoretical results obtained are proved analytically and supported by experimental results. The criteria and the preference region for the δ-operator in comparison with the z-operator are shown. The paper considers issues related to the implementation of discrete systems using the δ-operator on low-bit computers with a floating point. In the course of the work, it was found that the accuracy of the machine representation of numbers (digit capacity of the calculator) does not affect the choice of a method for implementing a discrete system. The key parameter when choosing a discrete operator is the sampling rate. A generalized criterion is formulated, which allows one to choose the preferred discrete operator by the type of continuous system and the required sampling frequency.


Keywords: FPGA, Microcontroller, Discrete operator, Linear dynamic systems, Automatic control, Digital signal processing, Delta-operator, Delta-transform, Digital filtering, Finit word length
This article written in Russian. You can find full text of article in Russian here .

Состояние предметной области

Дискретные модели динамических систем традиционно описываются с использованием z‑преобразования, иначе называемого оператором задержки. Синтез моделей в z‑области основан на хорошо изученных методах дискретизации непрерывных систем и в настоящее время полностью формализован. Однако при реализации дискретных систем на ограниченной машинной сетке из-за округления коэффициентов разностных уравнений погрешность вычислений может стать недопустимо высокой. Для повышения точности приходится выбирать большую длину машинного слова, что негативно сказывается на энергоэффективности, быстродействии и стоимости конечного решения [8].

В работах [2, 12] в качестве альтернативы оператору задержки предложен δ‑оператор. Собственные числа дискретной модели, полученной с помощью δ-преобразования, при малых периодах квантования не стремятся к единице или нулю, в отличие от модели, полученной z-преобразованием [2]. Применение δ-оператора позволяет во многих случаях добиться существенного улучшения параметров дискретных систем. Например, в работе [10] описано применение δ-оператора при решении задачи нахождения оптимального скользящего режима управления. Авторы отмечают, что полученные ими модели значительно меньше подвержены автоколебаниям по сравнению с системами, синтезированными традиционным способом. В работе [6] исследователи сравнивают реализацию ПИД‑регуляторов на основе δ- и z-оператора. Показано, что коэффициенты разностных уравнений в случае применения δ-оператора значительно менее чувствительны к ограничению длины разрядной сетки. Работа [11] демонстрирует возможности δ-оператора при реализации LQR-регулятора. При длине мантиссы машинного слова в 5 бит авторам удалось добиться точности, соответствующей реализации z-модели в 32-битных числах типа single с мантиссой длиной 23 бита.

Несмотря на то, что в последнее время наблюдается возрастающая публикационная активность по тематике δ-оператора, практические аспекты его применения освещаются крайне скудно. Остается открытым вопрос, в каком случае к системе должен применяться δ-оператор, а когда можно использовать классический подход на основе z-оператора. Эксперименты с произвольными дискретными системами дают противоречивые результаты: на одних системах разница в точности представления модели существенна, в то время как на других практически незаметна. Ранние работы предсказывали постепенный переход от оператора сдвига к δ-оператору [7], чего не наблюдается в действительности. Во многих источниках [13, 14] авторы делают акцент лишь на математическом определении δ-оператора и рассмотрении частных случаев его использования.

Таким образом, можно заключить, что разработка принципов выбора между z-оператором и δ-оператором является актуальной задачей. В данной работе авторы предлагают методику и критерии выбора дискретного оператора, рассматривая практические аспекты построения дискретных систем на платформах малой разрядности с плавающей запятой.

1. Критерий предпочтительности δ-оператора

Наиболее известно определение δ-оператора, изложенное в работах [1, 3, 4]. Пусть— определение z-оператора через оператор Лапласа s = σ + , а — определение δ-оператора через z-оператор. Здесь ∆ — некоторый параметр, с математической точки зрения способный принимать любые значения. В ранних публикациях по теме δ-оператора авторы предлагали установить ∆ = Ts , где Ts — период дискретизации [12]. Позднее в ряде работ было показано, что более целесообразен выбор ∆ = 2-n , n ϵ N [9].

На практике переход от передаточной функции системы, заданной в z-области, к системе в δ-области состоит в алгебраическом преобразовании коэффициентов передаточной функции с последующей реализацией системы таким образом, что вместо оператора задержки применяется δ-оператор. Рассмотрим выражения, используемые для преобразования коэффициентов системы:

, (1)

. (2)

Здесь ai , α i — коэффициенты знаменателя z‑системы и δ‑системы соответственно, bi , β i — коэффициенты числителя, n — порядок системы, k — порядок операторной переменной при коэффициенте, а выражения вида — биномиальные коэффициенты, рассчитываемые как:

.

Для звена второго порядка, заданного в канонической форме II (Direct Form II) и реализованного с помощью δ‑оператора, алгоритм вычисления нового состояния будет следующим:

Сравним исследуемые операторы на примере проектирования цифрового БИХ‑фильтра, реализуемого в арифметике с типом данных single. Синтезируем дискретный эллиптический фильтр нижних частот 2‑го порядка со следующими параметрами: уровень колебаний в полосе пропускания 10-4дБ, уровень подавления сигнала в полосе задерживания 40 дБ, приведенные частоты среза фильтра λs = 0,03 (случай 1) и λs = 0,002 (случай 2). Опустив для краткости математическое описание фильтра, построим графики погрешности АЧХ моделей фильтра, реализованных с помощью z и δ‑операторов, относительно аналитически рассчитанной АЧХ.

E1.emfE2.emf

а) б)

Рисунок 1 Сравнение АЧХ различных реализаций тестового фильтра

В первом случае (рис. 1, а) δ‑система демонстрирует более низкую точность во всем диапазоне частот. Особенно критично это может повлиять на сигнал в полосе пропускания. Во втором случае (рис. 1, б) соотношение погрешностей свидетельствует о существенном улучшении характеристик модели фильтра, полученной с помощью δ‑оператора.

Из данного примера можно сделать вывод, что критерий целесообразности применения δ‑оператора зависит от нормализованной частоты среза фильтра. Общая методика применения δ‑оператора, предложенная авторами ранее в работе [4], была такова:

1. Создание z‑модели с требуемыми свойствами.

2. Проверка, является ли рабочая частота системы много меньшей, чем частота Найквиста (λраб<<1). Если условие выполняется, есть основания для применения δ‑оператора.

3. Оценка величины S = || Ez || / || Eδ ||, где || · || — некоторая норма, Ez , Eδ — погрешности АЧХ. Если SS* , где S* — заранее известная величина, то выбор делается в пользу δ‑оператора.

В работе [4] пункт 3 методики был переформулирован следующим образом: дискретная z‑система, комплексные собственные числа матрицы A пространства состояния которой лежат в области предпочтительности, с вероятностью 95% покажет лучшую точность при реализации ее с помощью δ‑оператора. Область предпочтительности δ‑оператора Pδ приближенно имеет форму полуэллипса на z‑плоскости с центром в точке 0 и полуосями (0,09; 0,16) — см. рис. 2. Если система обладает вещественными собственными числами, то ее область предпочтительности — отрезок (–0,09; 0) на действительной оси.

Область предпочтительности чб - 2 круга.emf

Рисунок 2 — Область предпочтительности δ‑оператора (белая окружность) на z‑плоскости. Черным цветом обозначена единичная окружность

Применение подобного критерия выбора дискретного оператора на практике оказалось не всегда удобным, особенно при реализации систем, заданных в форме передаточных функций. Работа [4] также оставляет открытым вопрос о влиянии на целесообразность применения δ‑оператора точности и формата представления чисел.

В последующих разделах статьи мы исследуем влияние погрешности округления коэффициентов в арифметике с плавающей запятой в случае применения z- и δ‑операторов, а также конкретизируем условие λраб << 1 пункта 2 методики.

2. Погрешность представления коэффициентов

Пусть Er — погрешность машинного представления вещественного числа r . Она может быть вычислена по формуле

, (3)

где ε — машинный эпсилон числа r , а запись [r] обозначает машинное представление числа.

Ввод формулы (3) обоснован тем, что погрешность является смещением функции mod(r , ε ): она возникает при отбрасывании выходящих за машинную сетку разрядов r , то есть как остаток от деления его на ε — минимально представимое число на данной сетке, соответствующее значению младшего бита мантиссы. При этом максимальная погрешность `E_r= r - [r]` равна

.

r.emfr.emf

Рисунок 3 Пилообразный характер погрешности машинного представления коэффициентов

В ходе исследования было сделано предположение, что зависимости между предпочтительностью вида дискретного оператора и разрядностью машинных чисел не наблюдается. Докажем это утверждение.

Лемма о верхних оценках погрешности АЧХ для z- и δ-моделей

Обозначим , а ε — машинный эпсилон числа 0,5. Пусть , причем погрешности числителя и знаменателя , как для z‑модели, так и для δ‑модели.

Тогда справедливы следующие формулы верхних оценок погрешностей АЧХ z- и δ-моделей:

, (4)

. (5)

Здесь и далее E — оценка погрешности, A = |H (λ )|—точная АЧХ системы.

Доказательство леммы основано на предельных свойствах

,

и анализе поведения погрешностей типовых звеньев 1-го и 2-го порядков.

Теорема 1. Пусть АЧХ на частоте λ равна Hδ (λ ) = β /α , где α , β — комплексные значения числителя и знаменателя передаточной функции системы Hδ на данной частоте; аналогично Hz (λ ) = b /a . Тогда при |α | > , ε <ε *, где K , ε * — известные вещественные числа, величина

не зависит от машинного ε , то есть от разрядности типа данных.

Для доказательства рассмотрим четыре возможных случая.

1. Случай:

При |α | > верно, что |a | + 1,5ε ·sgn(a ) ≈|a | в силу малости ε , откуда, используя формулу (4),

,

а при K >>ε * >ε верно 1 +ε ·sgn(a ) ≈ 1, откуда

.

Следовательно,

. (6)

Формула (6) не содержит ε , поэтому величина S1 от него не зависит.

2. Случай .

Из-за неточности представления коэффициентов реальные значения АЧХ Aδ ≠ 0,

Az ≠ 0.

Для z-системы

,

Eсли Az <<ε , что весьма вероятно в силу условия A = 0.

Для δ-системы

.

В реальной системе |β2 | ≠ 0, но

.

Поэтому искомое отношение равно

и не зависит от ε .

3. Случай. Характерен для фильтров низких и высоких частот, когда коэффициенты числителя стремятся к целым числам. Тогда

,

,

и искомое отношение

,

и не зависит от ε .

4. Случай отвечает тривиальному условию H ≡ 0, и для него оценка S1 не имеет смысла.

Теорема доказана .

Выводы из данной теоремы имеют важное прикладное значение.

1. Поскольку во многих случаях |α | >1,5ε (фактически это значит, что a1 отличается от -2 больше чем на единицу младшего разряда, а a2 — отличается от 1 больше чем на единицу младшего разряда), следовательно, отношение верхних оценок погрешностей z- и δ‑систем при малых λ не зависит от разрядности машинного представления коэффициентов системы ε . Прирост точности z‑модели за счет увеличения разрядности эквивалентен приросту точности δ‑модели. Имея данное λ или T , а также зная разрядность вычислителя, следует выбрать δ‑модель, если она даст лучшие результаты на той же разрядности.

2. Если используются высокие частоты дискретизации или низкая разрядность, то есть |α | >1,5ε , то δ‑модель демонстрирует сохранение точности, пропорциональное ε

,

в то время как z-модель показывает погрешность, сопоставимую с реальной величиной АЧХ, становясь при этом совершенно непригодной для практической реализации

.

В этом случае δ-оператор позволяет строить дискретные системы, не реализуемые стандартным способом.

3. Зависимость критерия предпочтительности от нормализованной частоты и типа фильтра

Рассмотрим зависимость значений критериев предпочтительности S и S1 от частоты среза λ для фильтра Баттерворта нижних частот 2-го порядка. Особенностью данного фильтра является точное задание коэффициентов числителя z-модели, оба из которых стремятся к -1, поэтому используем оценку

. (7)

Формула (7) получена путем нахождения отношения выражений (4) и (5) и сокращения общих множителей. График отношения критериев S и S1 от нормированной частоты среза представлен на рис. 4. Квадратом отмечена точка |α | =1,5ε , положение которой рассчитано для разрядности машинного слова 16 бит. При |α | >1,5ε и возрастании λ график почти линейно убывает. При |α | <1,5ε график горизонтален: S1 практически не зависит от λ . При этом оценка S1 коррелирует с S = Ez (λ )/Eδ (λ ), но при |α | >1,5ε она явно завышена. Поэтому оценку S1 нельзя рекомендовать для практического применения при расчете реальных погрешностей цифровых систем.

S1.emf

Рисунок 4 — Зависимость S и S1 от нормированной частоты среза λ

Исследуем погрешность АЧХ для z- и δ-систем, а также погрешность машинного представления коэффициентов знаменателей их передаточных функций в окрестности λ = 0,02 (рис. 5). Рассматриваемая система — цифровой режекторный фильтр 2-го порядка с шириной полосы подавления 0,1λ s .

t7 - notch.emf

Рисунок 5 — Погрешность представления машинных коэффициентов z- и δ‑реализаций режекторного фильтра

На основании анализа рис. 5 можно сделать ряд выводов:

1. На произвольном фрагменте интервала частот дискретизации длиной Mλ гарантировано нахождение хотя бы одного максимума и минимума S. В зависимости от того, какая из погрешностей меньше — погрешность z‑системы в точке минимума, или δ‑системы в точке максимума — следует выбрать соответствующую форму представления дискретной системы.

2. Ввиду негладкости S нецелесообразно использовать стандартные алгоритмы оптимизации. Задача поиска оптимального λ может быть упрощена, поскольку тактовая частота целевой платформы может принимать ограниченное количество значений, линейно связанных с частотой встроенного генератора.

3. При достаточно большой разрядности представления данных z-система может быть точнее δ-системы даже при малом λ . С уменьшением разрядности целесообразность применения δ-оператора возрастает.

Таким образом, при определенном значении частоты среза λ < λ*с высокой долей вероятности предпочтительным становится δ-оператор. Для экспериментального подтверждения этого предположения были поставлены опыты по нахождению λ* для различных типов фильтров 2-го порядка. На рис. 6 приведены соотношения погрешностей АЧХ z- и δ-реализаций фильтра Баттерворта.

ellipL.emf

Рисунок 6 — Погрешности АЧХ z- и δ-реализаций тестового фильтра Баттерворта

Пользуясь критерием, сформулированным в работе [4], построим обобщенный график зависимости R (λ) для фильтров различного типа (рис. 7). Анализ графиков показывает, что эллиптический ФВЧ практически всегда выгодно реализовывать с помощью δ-оператора.

Filters.emf

Рисунок 7 — Зависимость R (λ) для различных типов цифровых фильтров

4. Обобщенный критерий применения дельта-оператора

Чтобы визуализировать область предпочтительности δ-оператора, найдем значение величины

для систем, являющихся дискретным преобразованием непрерывной системы с двумя комплексно-сопряженными полюсами s = σ ± и передаточной функцией вида

.

Перейдем к H (z ) с помощью преобразования Тастина [5], и далее найдем H (δ ). Нормируем коэффициенты таким образом, чтобы при старшей степени знаменателя был единичный коэффициент, и уменьшим точность представления мантиссы до 8 бит. Затем построим АЧХ всех дискретных систем, нормированная частота дискретизации которых лежит на интервале (0; 1), и сравним со значением АЧХ этих дискретных систем в случае, когда их коэффициенты заданы в формате double.

В результате мы можем построить поверхность S (σ T , ω T ) над комплексной плоскостью (σ T ;ω T ), где T — период дискретизации. Поверхность ограничена плоскостью на уровне . Внутри области S >1 δ‑оператор является более предпочтительным. На рис. 8(а) эта область закрашена белым.

Contourf_Delta_sverkhu.emfDelta_OP_chb_3d.emf

а) б)

Рисунок 8 — Область предпочтительности δ-оператора на непрерывной плоскости (а) и пространственная визуализация критерия S (б)

Анализируя полученные результаты, можно предложить модифицированный алгоритм выбора дискретного оператора:

1. При необходимости декомпозировать исходную непрерывную систему на звенья первого и второго порядков.

2. Проверить корни характеристического полинома системы на принадлежность области предпочтительности S . Если условие соблюдается, то делается выбор в пользу δ-оператора.

3. Если возможна вариация частоты дискретизации системы λ в допустимой окрестности λ*, то следует численно отыскать локальные минимум и максимум определенного критерия S . Тогда, если

,

то выбор делается в пользу δ‑оператора, иначе — в пользу z‑оператора. Если точно найти S невозможно и используется оценочное значение S , то выбор в пользу δ‑оператора делается по условию S > 1.

Заключение

В работе сравниваются реализации дискретных линейных систем с помощью z- и δ-операторов в арифметике с плавающей запятой. Было установлено, что точность машинного представления чисел (разрядность вычислителя) не оказывает влияния на отношение погрешностей z- и δ-моделей: ключевым параметром, оказывающим влияние на предпочтительность выбора дискретного оператора, является частота дискретизации. Сформулирован обобщенный критерий, позволяющий по виду непрерывной системы и требуемой частоте дискретизации выбрать дискретный оператор. В случае когда, согласно критерию, предпочтительным оказывается δ-оператор, выигрыш в точности по сравнению с реализацией на основе z-оператора может составлять несколько порядков (десятки дБ соотношения сигнал/машинный шум) при незначительном усложнении структуры фильтра.

Вопросы масштабирования переменных состояния дискретной системы и ее коэффициентов оставлены в данной работе без внимания, мх решение является предметом дальнейших исследований.



References
1.
Andreev V.S., Butusov D.N., Karimov T.I., Lipkin S.M., Sotnin M.I. Analiz effektivnosti primeneniya del'ta-preobrazovaniya pri modelirovanii zven'ev vtorogo poryadka // Sovremennye problemy nauki i obrazovaniya. − 2013. − №1. S. 107.
2.
Gudvin G.K., Grebe S.F., Sal'gado M.E. Proektirovanie sistem upravleniya / G.K. Gudvin, S.F. Grebe, M.E.. Sal'gado, M.: Binom. Laboratoriya znanii, 2004. 912 c.
3.
Karimov A.I., Butusov D.N., Platonov S.M., Lavrov S.V., Mandra A.G.. Realizatsiya tsifrovogo integratora s primeneniem del'ta-preobrazovaniya // Sovremennye problemy nauki i obrazovaniya. − 2013. − №1. S. 76.
4.
Karimov T.I., Butusov D.N., Karimov A.I. Kriterii primenimosti del'ta-operatora pri sinteze diskretnykh sistem v forme prostranstva sostoyanii // Fundamental'nye issledovaniya. 2014. (12). C. 1889–1893.
5.
Sergienko A.V. Tsifrovaya obrabotka signalov: uchebnoe posobie / A.V. Sergienko, SPb: BHV, 2013. 768 c.
6.
Eidson B.L., Hung J.Y., Mark Nelms R. An experimental evaluation of the PID controller represented by the delta operator // Proceedings of IEEE Southeastcon. 2012. C. 1–6.
7.
Goodall R.M., Donoghue B.J. Very high sample rate digital filters using the δ operator // IEEE Proceedings of Circuits, Devices and Systems. 1993. № 3 (140). C. 199–208.
8.
Govindu G. [i dr.]. Analysis of High-performance Floating-point Arithmetic on FPGAs Santa Fe, New Mexico, USA:, 2004. 1–8 s.
9.
Kauraniemi J., Laakso T.I., Hartimo I. Delta Operator Realizations of Direct-Form IIR Filters // IEEE Transactions on Circuits and Systems-II: Analog and Digital Signal Processing. 1998. № 1 (45). C. 41–52.
10.
Liu Y. [i dr.]. Optimal sliding mode control for delta operator system // IEEE 32nd Chinese Control Conference. 2013. C. 3152 – 3157.
11.
Longo S., Kerrigan E.C., Constantinides G.A. Constrained LQR for low-precision data representation // Automatica. 2014. № 1 (50). C. 162–168.
12.
Middleton R.H., Goodwin G.C. Improved Finite Word Length Characteristics in Digital Control Using Delta Operators // IEEE Transactions on Automatic Control. 1986. № November (31). C. 1015–1021.
13.
Rabbath C.A., Léchevin N. Discrete-Time Control System Design with Applications / C.A. Rabbath, N. Léchevin, New York, NY: Springer New York, 2014. 171 c.
14.
Yang G.-H. Linear systems : non-fragile control and filtering / G.-H. Yang, CRC Press, 2013. 278 c.
Link to this article

You can simply select and copy link from below text field.


Other our sites:
Official Website of NOTA BENE / Aurora Group s.r.o.
"History Illustrated" Website